Exercices corrigés : Termes d'une suite

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Résumé de cours : Termes d'une suite

1. Introduction

Les suites sont un concept fondamental en mathématiques, permettant de représenter une séquence ordonnée de nombres. Elles sont omniprésentes dans de nombreux domaines, de l'arithmétique à la géométrie, en passant par l'analyse et bien d'autres.

2. Définition d'une suite

Une suite est une collection ordonnée d'éléments, généralement des nombres, où chaque élément est associé à un indice entier positif. Une suite est généralement représentée par \( (u_n) \) où \( n \) est l'indice du terme.

Types de suites

• Suite arithmétique : Chaque terme est obtenu en ajoutant une constante au précédent.
• Suite géométrique : Chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par une constante.

3. Calcul des termes d'une suite

Le calcul des termes d'une suite dépend de sa définition. Voici comment procéder pour les suites les plus courantes :

Formule explicite

Si la suite est définie par une formule explicite, il suffit de remplacer \( n \) par l'indice souhaité pour obtenir le terme correspondant.

Relation de récurrence

Si la suite est définie par une relation de récurrence, il faut connaître le ou les termes initiaux et utiliser la relation pour obtenir les termes suivants.

4. Exemples et solutions

Exemple 1 : Suite arithmétique

Soit la suite arithmétique \( (u_n) \) définie par \( u_1 = 2 \) et \( r = 3 \).

Formule : \( u_n = u_1 + (n-1) \times r \)

Solution : Pour \( n = 2 \), \( u_2 = 2 + 3 = 5 \). Pour \( n = 3 \), \( u_3 = 5 + 3 = 8 \).

Exemple 2 : Suite géométrique

Soit la suite géométrique \( (u_n) \) définie par \( u_1 = 2 \) et \( q = 3 \).

Formule : \( u_n = u_1 \times q^{(n-1)} \)

Solution : Pour \( n = 2 \), \( u_2 = 2 \times 3 = 6 \). Pour \( n = 3 \), \( u_3 = 6 \times 3 = 18 \).

5. Conseils et erreurs à éviter

• Ne confondez pas les suites arithmétiques et géométriques.
• Assurez-vous de bien comprendre la différence entre une formule explicite et une relation de récurrence.
• Lors de l'utilisation d'une relation de récurrence, n'oubliez pas de prendre en compte le ou les termes initiaux.

6. FAQ

1. Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?
   C'est une suite où chaque terme est obtenu en ajoutant une constante au terme précédent.
2. Comment trouver le \( n \)-ième terme d'une suite géométrique ?
   Utilisez la formule \( u_n = u_1 \times q^{(n-1)} \).
3. Quelle est la différence entre une suite arithmétique et une suite géométrique ?
   Dans une suite arithmétique, on ajoute une constante pour obtenir le terme suivant, tandis que dans une suite géométrique, on multiplie par une constante.