Exercices corrigés : Théorème de THALES

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Exercices corrigés : Réciproque du Théorème de THALES

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Résumé de cours : Théorème de THALES

Historique

Le théorème de Thalès est attribué à Thalès de Milet, un philosophe et mathématicien grec du VIe siècle avant J.C. Bien qu'il n'ait laissé aucune ouvre écrite, ses idées et ses découvertes ont été transmises par des disciples et des commentateurs ultérieurs. Le théorème de Thalès est l'un de ses legs les plus célèbres à la géométrie.

Contexte d'utilisation

Le théorème de Thalès est fréquemment utilisé pour étudier les propriétés des figures géométriques, en particulier les triangles. Il est particulièrement utile lorsqu'il s'agit de déterminer la longueur d'un segment lorsqu'on connaît certaines longueurs et qu'une configuration de parallélisme est présente. Le théorème est également un outil fondamental dans la trigonométrie.

Théorème de Thalès

Si deux droites sont parallèles et si elles sont coupées par deux secantes, alors les segments de ces sécantes sont proportionnels.

Formellement, si AB et CD sont deux droites parallèles coupées par les sécantes [AC] et [BE], alors :

• AE/AC = BE/BC
• AE/EB = AC/EC

Réciproque du Théorème de Thalès

Si, sur deux sécantes, on a trois segments qui sont proportionnels, alors les droites définies par les points d'intersection de ces segments sont parallèles.

Formellement, si sur les sécantes [AC] et [BE] on a :

• AE/AC = BE/BC

Alors, AB est parallèle à CD.

Exemple d'application

Imaginons que nous ayons un triangle ABC et un point D sur [AB] et un point E sur [AC] tels que DE soit parallèle à BC. Si AD = 2 cm, DB = 3 cm, AE = 4 cm, alors en utilisant le théorème de Thalès, nous pouvons déterminer la longueur de EC :

En appliquant le théorème : DE/BC = AD/AB = AE/AC

Si nous savons que DE = 3,5 cm et BC = 7 cm, alors :

3,5/7 = 2/(2+3)

AE/AC = 0,5 = 2/5

A partir de là, nous pouvons conclure que EC = 6 cm.