Exercices corrigés : Les puissances

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Résumé de cours : Les puissances

Historique

Les puissances de dix ont été utilisées depuis l'Antiquité pour simplifier l'écriture de grands nombres. Cependant, l'écriture scientifique, telle que nous la connaissons aujourd'hui, a commencé à être largement adoptée au début du XXe siècle, permettant une représentation concise des nombres très grands et très petits, en particulier dans le domaine de la physique.

Définitions

Puissances de dix

Une puissance de dix est une expression où 10 est utilisé comme base et est élevé à un exposant entier.

Écriture scientifique

L'écriture scientifique est une manière de représenter les nombres sous la forme \( m \times 10^n \), où \( m \) est un nombre compris entre 1 et 10 (inclus) et \( n \) est un nombre entier.

Applications concrètes de l'écriture scientifique

L'écriture scientifique a de nombreuses applications dans divers domaines :

• Astronomie: Pour exprimer les distances interstellaires.
• Physique quantique: Lors de la manipulation de quantités très petites comme le rayon d'un proton.
• Biologie: En représentant des quantités telles que la taille d'une molécule d'ADN.
• Économie: Pour parler de grands chiffres tels que la dette nationale.

Exemples

Supposons que vous vouliez représenter la distance de la Terre au Soleil, qui est d'environ 149 600 000 km. En écriture scientifique, cela serait : \( 1,496 \times 10^8 \) km.

De même, si vous vouliez représenter la charge d'un électron qui est environ \(-0,00000000000000000016\) coulombs, cela serait : \( -1,6 \times 10^{-19} \) coulombs.

Pièges courants

L'utilisation des puissances de dix et de l'écriture scientifique est courante, mais il y a des erreurs courantes :

• Confusion entre l'écriture normale et l'écriture scientifique. Par exemple, \( 150 \) n'est pas la même chose que \( 1,5 \times 10^2 \).
• Erreurs lors de la multiplication ou de la division des nombres en écriture scientifique.
• Oublier de régler la mantisse (le nombre \( m \)) entre 1 et 10 lors de la conversion en écriture scientifique.

Calcul avec les puissances de dix

Multiplication

Lorsque vous multipliez deux nombres écrits avec des puissances de dix, vous multipliez les nombres principaux ensemble et ajoutez les exposants des puissances de dix.

Exemple : \( (2 \times 10^3) \times (3 \times 10^4) = 6 \times 10^{3+4} = 6 \times 10^7 \)

Division

Pour diviser deux nombres avec des puissances de dix, divisez les nombres principaux et soustrayez l'exposant du dénominateur de celui du numérateur.

Exemple : \( \frac{4 \times 10^6}{2 \times 10^2} = 2 \times 10^{6-2} = 2 \times 10^4 \)

Addition et soustraction

Pour additionner ou soustraire des nombres avec des puissances de dix, il est préférable d'avoir la même puissance de dix pour chaque nombre. Une fois que vous avez la même puissance de dix, additionnez ou soustrayez les nombres principaux.

Exemple : \( (5 \times 10^3) + (3 \times 10^4) = 5 \times 10^3 + 30 \times 10^3 = 35 \times 10^3 \)

Remarque

L'ajout et la soustraction nécessitent souvent un ajustement des termes pour s'assurer qu'ils ont la même puissance de dix. Cela peut nécessiter de déplacer la virgule décimale et d'ajuster l'exposant en conséquence.