Exercices corrigés : Identités Remarquables

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Résumé de cours : Identités Remarquables

Historique des identités remarquables

Les identités remarquables, bien qu'elles semblent simples, ont une riche histoire. Elles ont été reconnues et utilisées par d'anciens mathématiciens comme Al-Khwarizmi, qui est souvent considéré comme le "père de l'algèbre". Ces identités permettaient de résoudre des équations quadratiques bien avant l'avènement des méthodes modernes.

Définition

Les identités remarquables sont des formules algébriques qui permettent de factoriser ou de développer certaines expressions particulières sans avoir à effectuer tout le calcul. Ces identités simplifient les calculs et sont fréquemment utilisées en mathématiques.

Les trois identités principales

1. Carré d'une somme

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

2. Carré d'une différence

\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

3. Produit de la somme par la différence

\( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \)

Applications concrètes des identités remarquables

Ces identités ne sont pas seulement des outils théoriques. Elles sont couramment utilisées dans divers domaines :

• Ingénierie: Pour la conception et l'analyse de structures mécaniques.
• Physique: Dans la résolution d'équations liées à la mécanique, l'électromagnétisme, etc.
• Économie: Dans l'analyse de modèles économiques mathématiques.

Exemples d'application

1. Carré d'une somme

Pour \( a = 3 \) et \( b = 4 \) :

\( (3 + 4)^2 = 3^2 + 2(3)(4) + 4^2 = 9 + 24 + 16 = 49 \)

2. Carré d'une différence

Pour \( a = 5 \) et \( b = 2 \) :

\( (5 - 2)^2 = 5^2 - 2(5)(2) + 2^2 = 25 - 20 + 4 = 9 \)

3. Produit de la somme par la différence

Pour \( a = 6 \) et \( b = 3 \) :

\( (6 + 3)(6 - 3) = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27 \)

Pièges courants avec les identités remarquables

Bien que les identités remarquables soient des outils puissants, il est courant de commettre des erreurs en les utilisant. Voici quelques pièges courants :

• Confondre le carré d'une somme avec le carré d'une différence.


• Omettre le terme "2ab" ou "-2ab" lors de l'utilisation des identités.


• Penser à tort que \( (a + b)(a + b) = a^2 + b^2 \) ou que \( (a - b)(a - b) = a^2 - b^2 \), en omettant les termes croisés.