Factorisation des polynômes du second degré – Exercices de mathématiques en 1ère spécialité

La factorisation des polynômes du second degré est une compétence essentielle en première spécialité mathématiques. Elle permet de transformer un trinôme en produit de facteurs, de simplifier des expressions algébriques et de préparer efficacement la résolution d’équations du second degré ainsi que l’étude du signe d’un polynôme.

Sur cette page, tu trouveras une série de fiches d’exercices consacrées à la factorisation des polynômes de degré 2, avec leurs énoncés et leurs corrigés détaillés au format PDF. Les exercices proposent différentes situations : factorisation à l’aide d’identités remarquables, calcul du discriminant pour déterminer les racines, puis écriture du polynôme sous forme factorisée lorsque cela est possible.

Ces fiches permettent de consolider la méthode, de manipuler des coefficients variés (entiers, fractions, racines) et d’acquérir une rédaction algébrique rigoureuse, indispensable en première spécialité.

Fiches d’exercices – Factorisation d’un polynôme de degré 2 (1ère spécialité mathématiques)

Résumé de cours : Factorisation d'un polynôme de degré 2

1. Introduction

Un polynôme de degré 2, aussi appelé trinôme du second degré, est une expression algébrique de la forme \( ax^2 + bx + c \) où \( a \), \( b \) et \( c \) sont des nombres réels et \( a \neq 0 \). La factorisation de ces trinômes est une compétence essentielle en algèbre.

2. Forme factorisée

La forme factorisée d'un trinôme du second degré est donnée par :

\[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \]

où \( x_1 \) et \( x_2 \) sont les racines du trinôme.

3. Méthode de factorisation

La factorisation d'un trinôme du second degré repose sur la recherche de ses racines. Si le trinôme admet deux racines réelles distinctes, alors il peut être factorisé comme le produit de deux binômes du premier degré.

4. Exemple

Exemple : Factoriser \( x^2 - 5x + 6 \).

Solution :

Les racines du trinôme sont \( x_1 = 2 \) et \( x_2 = 3 \). Ainsi, la factorisation est :

\[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \]

5. Exercices

1. Factoriser \( x^2 - 3x + 2 \).

2. Factoriser \( x^2 + 4x + 4 \).

3. Factoriser \( x^2 - x - 6 \).

4. Factoriser \( x^2 + 6x + 9 \).

5. Factoriser \( x^2 - 4 \).

6. Factoriser \( x^2 - 2x - 8 \).

7. Factoriser \( x^2 + 8x + 16 \).

6. Solutions

1. \( x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) \)

2. \( x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \)

3. \( x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) \)

4. \( x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \)

5. \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \)

6. \( x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) \)

7. \( x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2 \)

7. Conseils et erreurs à éviter

• Assurez-vous toujours que le coefficient de \( x^2 \) est différent de zéro.
• Si le discriminant est négatif, le trinôme n'admet pas de racines réelles et ne peut donc pas être factorisé dans l'ensemble des nombres réels.
• Ne confondez pas la factorisation avec le développement.

8. FAQ

1. Qu'est-ce qu'un trinôme du second degré ?

   C'est une expression algébrique de la forme \( ax^2 + bx + c \) où \( a \neq 0 \).

2. Comment trouver les racines d'un trinôme ?

   On utilise généralement le discriminant ou les formules de résolution des équations du second degré.

3. Est-ce que tous les trinômes peuvent être factorisés ?

   Non, seuls ceux dont le discriminant est positif ou nul peuvent être factorisés dans l'ensemble des nombres réels.