Tableau de variations et sens de variation d’une fonction – Exercices de Seconde (PDF)

Cette page propose une série de fiches d’exercices de mathématiques pour la classe de Seconde consacrées au tableau de variations et au sens de variation d’une fonction. Les exercices permettent de lire le sens de variation d’une fonction à partir de sa courbe représentative, de déterminer les intervalles de croissance et de décroissance, de repérer les extrema et de construire le tableau de variations correspondant.

Chaque fiche est disponible au format PDF avec son corrigé, afin de s’entraîner en autonomie et de vérifier ses méthodes. Après la liste des fiches, un résumé de cours permet de revoir l’essentiel avant de se lancer dans les exercices.

Fiches d’exercices – Tableau de variations (Seconde)

Résumé de cours : Tableau de variation de fonction

1. Le tableau de variation : qu’est-ce que c’est ?

En mathématiques, le tableau de variation est un outil très utile qui donne une vision claire de l’évolution d’une fonction sur un intervalle donné.

2. L’utilité du tableau de variation

Cet outil permet notamment de :

• comprendre rapidement le comportement d’une fonction ;
• repérer les points hauts et les points bas (maxima et minima) ;
• faciliter la résolution de problèmes et l’étude d’une fonction.

3. La construction du tableau

Construire un tableau de variation se fait en plusieurs étapes :

1. choisir le domaine (ou l’intervalle) d’étude ;
2. repérer les points critiques, par exemple ceux où la dérivée s’annule ou n’existe pas ;
3. étudier le sens de variation entre ces points ;
4. compléter le tableau avec les valeurs et les flèches de variation.

4. L’art de la lecture du tableau

Un tableau de variation est généralement organisé en deux lignes principales :

• la ligne des abscisses, souvent notée \( x \) ;
• la ligne des valeurs de la fonction, notée \( f(x) \).

Les symboles \( \uparrow \) et \( \downarrow \) indiquent respectivement les phases où la fonction est croissante ou décroissante.

5. De la théorie à la pratique : tracer une courbe

Le tableau de variation est une aide précieuse pour tracer la courbe d’une fonction. Il indique où la courbe monte, où elle descend, et où se situent les maxima ou minima.

6. Inversion du processus : du graphique au tableau

On peut aussi procéder dans l’autre sens : partir d’une courbe pour construire un tableau de variation. Cette méthode est utile lorsqu’on dispose d’un graphique sans connaître l’expression de la fonction.

6.a. Identification des points caractéristiques

Commencez par repérer sur la courbe :

• les points hauts (maxima locaux) et les points bas (minima locaux) ;
• les points où la courbe coupe l’axe des abscisses (zéros de la fonction) ;
• les éventuels points d’inflexion, où la courbe change de forme.

6.b. Analyse des variations

Observez ensuite la courbe entre ces points :

• si la courbe monte, la fonction est croissante ;
• si la courbe descend, la fonction est décroissante.

6.c. Construction du tableau

Sur la première ligne du tableau, placez les abscisses des points caractéristiques repérés. Sur la seconde ligne, indiquez les valeurs de la fonction correspondantes (si elles sont connues ou lisibles sur le graphique).

Entre ces points, indiquez les variations à l’aide des symboles \( \uparrow \) (croissante) et \( \downarrow \) (décroissante).

6.d. Vérification

Vérifiez que le tableau correspond bien à la courbe. Par exemple, un maximum local doit être précédé d’une phase croissante et suivi d’une phase décroissante.

En suivant ces étapes, on peut transcrire fidèlement les informations d’un graphique dans un tableau de variation, et ainsi mieux comprendre le comportement de la fonction.

7. Astuces et pièges à éviter

• Ne pas confondre les zéros de la fonction avec les points où la dérivée est nulle.
• Analyser la fonction sur tout l’intervalle d’étude, sans oublier les bornes.
• Ne pas négliger les valeurs aux extrémités de l’intervalle : elles peuvent être des extrema.