Exercices corrigés : Extrema tableau de variation

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Résumé de cours : Extrema tableau de variation

1. Introduction aux Extrema

Les extrema sont des points clés d'une fonction où elle atteint ses valeurs les plus hautes (maximum) ou les plus basses (minimum). Ces points jouent un rôle essentiel dans la détermination du comportement global d'une fonction.

2. Importance des Extrema dans le Tableau de Variation

Le tableau de variation est un outil graphique qui permet de visualiser comment une fonction varie. Les extrema sont des éléments centraux de ce tableau car ils déterminent les zones où la fonction est croissante ou décroissante.

3. Identification des Extrema

Graphiquement, un maximum est un point où la courbe change de direction, passant d'une montée à une descente. Inversement, un minimum est un point où la courbe change de direction, passant d'une descente à une montée.

4. Extrema et Dérivée

La dérivée d'une fonction peut aider à identifier ses extrema. Si la dérivée change de signe en un point, ce point est un extremum. De plus, si la dérivée est nulle en ce point, il peut s'agir d'un maximum ou d'un minimum.

5. Comment Interpréter les Extrema dans le Tableau de Variation

Le tableau de variation est un outil précieux pour comprendre comment une fonction se comporte sur son intervalle de définition. Les extrema, en tant que points clés de ce tableau, nous donnent des informations essentielles sur la fonction. Voici comment les interpréter :

5.1. Reconnaissance des Extrema

Sur un tableau de variation, les extrema sont généralement indiqués par des flèches montantes (?) pour les minima et des flèches descendantes (?) pour les maxima. Ces flèches nous montrent où la fonction change de direction.

5.2. Zones de Croissance et de Décroissance

Les extrema divisent le tableau de variation en différentes zones. Entre deux extrema consécutifs :

• Si nous passons d'un minimum à un maximum, la fonction est décroissante.
• Si nous passons d'un maximum à un minimum, la fonction est croissante.

Ces zones nous donnent une vue d'ensemble du comportement de la fonction sur son intervalle de définition.

5.3. Valeurs de la Fonction aux Extrema

Les valeurs exactes de la fonction aux points d'extrema sont souvent indiquées à côté des flèches. Ces valeurs sont les plus hautes ou les plus basses que la fonction atteint sur un intervalle donné.

5.4. Interprétation Graphique

Sur le graphique d'une fonction, les extrema correspondent aux sommets (pour les maxima) et aux creux (pour les minima) de la courbe. En observant ces points sur le graphique et en les comparant au tableau de variation, on peut avoir une meilleure compréhension de la façon dont la fonction se comporte.

5.5. Importance des Extrema dans les Problèmes Pratiques

Dans de nombreux problèmes pratiques, les extrema peuvent représenter des valeurs optimales. Par exemple, dans un problème d'optimisation, un maximum pourrait représenter le profit maximal possible, tandis qu'un minimum pourrait représenter le coût minimal.

En résumé, les extrema jouent un rôle central dans l'interprétation du comportement d'une fonction. Ils nous fournissent des informations clés sur où et comment la fonction atteint ses valeurs les plus hautes et les plus basses.

6. Conseils et Erreurs à éviter

• Ne pas confondre les points d'inflexion avec les extrema.
• Un point où la dérivée est nulle n'est pas nécessairement un extremum.
• Les extrema peuvent aussi se trouver aux bornes de l'intervalle de définition.