Extrema et tableau de variations – Exercices de maths en Seconde (PDF + corrigés)

Cette page regroupe une série de fiches d’exercices de mathématiques pour la classe de Seconde, centrées sur la lecture d’un tableau de variations et la détermination des extrema d’une fonction (maximum et minimum). Chaque fiche est proposée au format PDF avec son corrigé, afin de s’entraîner en autonomie, vérifier ses méthodes et progresser efficacement.

Les exercices permettent notamment d’identifier les valeurs extrêmes d’une fonction sur un intervalle, d’écrire des inégalités ou des encadrements à partir du tableau de variations, de comparer des images et d’interpréter correctement les informations fournies. Après la liste des fiches, un résumé de cours complète la page pour revoir l’essentiel avant de se lancer dans les exercices.

Extrema à partir d’un tableau de variations – Fiches d’exercices (Seconde)

Résumé de cours : Extrema et tableau de variation

1. Introduction aux extrema

Les extrema sont des points particuliers d’une fonction où celle-ci atteint ses valeurs les plus élevées (maximum) ou les plus basses (minimum). Ces points jouent un rôle essentiel dans l’étude du comportement global d’une fonction.

2. Importance des extrema dans le tableau de variation

Le tableau de variation est un outil graphique qui permet de visualiser l’évolution d’une fonction sur un intervalle donné. Les extrema y occupent une place centrale, car ils délimitent les zones où la fonction est croissante ou décroissante.

3. Identification des extrema

Sur une représentation graphique :

• un maximum correspond à un point où la courbe passe d’une montée à une descente ;
• un minimum correspond à un point où la courbe passe d’une descente à une montée.

4. Extrema et dérivée

L’étude de la dérivée d’une fonction permet de repérer ses extrema. Si la dérivée change de signe en un point, alors ce point correspond à un extremum. Lorsque la dérivée est nulle en ce point, il peut s’agir d’un maximum ou d’un minimum.

5. Comment interpréter les extrema dans le tableau de variation

Le tableau de variation synthétise le comportement d’une fonction sur son intervalle de définition. Les extrema y apparaissent comme des points clés.

5.1. Reconnaissance des extrema

Dans un tableau de variation, les extrema sont repérables aux changements de sens des flèches. Ces changements indiquent que la fonction cesse de croître ou de décroître.

5.2. Zones de croissance et de décroissance

Les extrema découpent l’intervalle de définition en plusieurs zones :

• entre un minimum et un maximum, la fonction est croissante ;
• entre un maximum et un minimum, la fonction est décroissante.

Ces informations permettent de comprendre rapidement l’évolution globale de la fonction.

5.3. Valeurs de la fonction aux extrema

Les valeurs de la fonction aux points d’extrema sont généralement indiquées dans le tableau de variation. Elles correspondent aux valeurs les plus grandes ou les plus petites atteintes sur un intervalle donné.

5.4. Interprétation graphique

Sur le graphique d’une fonction, les extrema correspondent aux sommets (pour les maxima) et aux creux (pour les minima) de la courbe. La comparaison entre le graphique et le tableau de variation permet de mieux interpréter le comportement de la fonction.

5.5. Importance des extrema dans les problèmes pratiques

Dans de nombreuses situations concrètes, les extrema représentent des valeurs optimales. Par exemple, un maximum peut correspondre à un profit maximal, tandis qu’un minimum peut représenter un coût minimal.

6. Conseils et erreurs à éviter

• Ne pas confondre points d’inflexion et extrema.
• Un point où la dérivée est nulle n’est pas forcément un extremum.
• Les extrema peuvent également se situer aux bornes de l’intervalle de définition.