Trinôme du second degré et fonction quadratique – Exercices de Seconde (PDF)

Cette page regroupe des fiches d’exercices de mathématiques pour la classe de Seconde consacrées au trinôme du second degré et à l’étude de la fonction quadratique. Les activités proposées permettent de reconnaître une expression du type ax² + bx + c, de passer d’une forme à une autre (développée, factorisée ou canonique), et d’exploiter ces formes pour étudier le signe, les variations et l’extremum de la fonction.

Les exercices abordent également la résolution d’équations et d’inéquations, la détermination des zéros et l’analyse du comportement de la parabole. Chaque fiche est disponible en PDF avec son corrigé afin de progresser pas à pas et de vérifier ses méthodes. Après la liste des fiches, un résumé de cours permet de revoir l’essentiel avant de se lancer dans les exercices.

Fiches d’exercices – Trinôme / fonction quadratique (Seconde)

Résumé de cours : Trinôme – fonction du second degré

1. Introduction

Un trinôme du second degré est une expression polynomiale de la forme \( ax^2 + bx + c \), où \( a \), \( b \) et \( c \) sont des constantes et \( a \neq 0 \).

2. Forme canonique

La forme canonique d’un trinôme du second degré est \( a(x - p)^2 + q \), où \( p \) et \( q \) sont des réels. Cette écriture permet notamment de repérer facilement le sommet de la parabole.

3. Discriminant

Le discriminant d’un trinôme du second degré est noté \( \Delta \) et défini par \( \Delta = b^2 - 4ac \). Il permet de déterminer le nombre et la nature des solutions de l’équation \( ax^2 + bx + c = 0 \).

4. Racines du trinôme

Selon la valeur du discriminant, l’équation associée au trinôme admet :

• si \( \Delta > 0 \), deux solutions réelles distinctes \( x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \) et \( x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \) ;
• si \( \Delta = 0 \), une solution réelle double \( x_0 = \frac{-b}{2a} \) ;
• si \( \Delta < 0 \), aucune solution réelle.

5. Exemples

6. Exercices corrigés

7. Conclusion

Les trinômes du second degré sont des outils fondamentaux en mathématiques. Ils permettent de modéliser de nombreux phénomènes et constituent une base essentielle pour l’étude des fonctions.

8. Étude complète de la fonction polynomiale de degré 2

8.1. Forme générale

Une fonction polynomiale de degré 2 est définie par \( f(x) = ax^2 + bx + c \), avec \( a \neq 0 \).

8.2. Parabole

La courbe représentative d’une telle fonction est une parabole. Son orientation dépend du signe de \( a \) :

• si \( a > 0 \), la parabole est ouverte vers le haut ;
• si \( a < 0 \), la parabole est ouverte vers le bas.

8.3. Sommet de la parabole

Le sommet de la parabole est le point de coordonnées \( (p , q) \), où :

• \( p = -\frac{b}{2a} \)
• \( q = f(p) \)

8.4. Axe de symétrie

L’axe de symétrie de la parabole est la droite verticale d’équation \( x = p \).

8.5. Zéros ou racines de la fonction

Les zéros de la fonction sont les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f(x) = 0 \). Ils correspondent aux points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses.

8.6. Intervalles de variation

Selon le signe de \( a \) :

• si \( a > 0 \), la fonction est décroissante puis croissante et atteint un minimum en \( p \) ;
• si \( a < 0 \), la fonction est croissante puis décroissante et atteint un maximum en \( p \).

8.7. Étude du signe

À l’aide du discriminant \( \Delta \) et des racines éventuelles, on peut déterminer sur quels intervalles la fonction est positive, négative ou nulle.

9. Conclusion

Les trinômes du second degré et les fonctions polynomiales de degré 2 jouent un rôle central dans l’étude des fonctions. Ils constituent une base solide pour comprendre les variations, les extrema et les représentations graphiques.