Factorisation d’un polynôme de degré 3 – Exercices de mathématiques en 1ère spécialité

La factorisation des polynômes de degré 3 est une étape importante en première spécialité mathématiques. Elle permet de transformer un polynôme en un produit de facteurs et repose sur la recherche d’une racine, puis sur la division par un facteur du type (x − a). Cette méthode s’appuie ensuite sur la factorisation du polynôme de degré 2 obtenu.

Sur cette page, tu trouveras une série de fiches d’exercices consacrées à la factorisation des polynômes du troisième degré, avec leurs énoncés et leurs corrigés détaillés au format PDF. Les exercices sont progressifs et permettent d’acquérir les réflexes essentiels : vérification qu’un nombre est une racine, division du polynôme, décomposition en produit de facteurs et contrôle des résultats obtenus.

Fiches d’exercices – Factorisation d’un polynôme de degré 3 (1ère spécialité mathématiques)

Résumé de cours : Factorisation d'un polynôme de degré 3

1. Introduction

Un polynôme de degré 3 est une expression algébrique de la forme \( ax^3 + bx^2 + cx + d \) où \( a \), \( b \), \( c \) et \( d \) sont des nombres réels et \( a \neq 0 \). La factorisation de ces polynômes est plus complexe que celle des polynômes de degré 2.

2. Méthode de factorisation

La factorisation d'un polynôme de degré 3 repose sur la recherche de ses racines. Si le polynôme admet une racine réelle \( r \), alors il est divisible par \( (x - r) \) et peut s'écrire comme le produit d'un polynôme de degré 1 et d'un polynôme de degré 2.

3. Exemple

Exemple : Factoriser \( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \).

Solution :

On vérifie que le polynôme s'annule pour \( x = 1 \), \( x = 2 \) et \( x = 3 \). Les racines sont donc \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 2 \) et \( x_3 = 3 \).

La factorisation est alors :

\[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3) \]

4. Exercices

1. Factoriser \( x^3 - 3x^2 + 2x \).

2. Factoriser \( x^3 + 3x^2 - 4x \).

3. Factoriser \( x^3 - x^2 - 4x + 4 \).

4. Factoriser \( x^3 - 2x^2 - 5x + 6 \).

5. Factoriser \( x^3 + x^2 - 6x \).

5. Solutions

1. \( x^3 - 3x^2 + 2x = x(x - 1)(x - 2) \)

2. \( x^3 + 3x^2 - 4x = x(x - 1)(x + 4) \)

3. \( x^3 - x^2 - 4x + 4 = (x - 1)(x - 2)(x + 2) \)

4. \( x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x - 3)(x + 2) \)

5. \( x^3 + x^2 - 6x = x(x + 3)(x - 2) \)

6. Conseils et erreurs à éviter

• Vérifiez toujours que le coefficient de \( x^3 \) est différent de zéro.
• Testez d'abord des racines entières simples (diviseurs du terme constant).
• Utilisez la règle de Ruffini ou la division synthétique pour simplifier les calculs.
• Ne confondez pas factorisation et développement.

7. FAQ

1. Qu'est-ce qu'un polynôme de degré 3 ?

   C'est une expression algébrique de la forme \( ax^3 + bx^2 + cx + d \) avec \( a \neq 0 \).

2. Comment trouver une racine d'un polynôme de degré 3 ?

   On peut tester des valeurs simples ou utiliser la règle de Ruffini ou la division synthétique.

3. Tous les polynômes de degré 3 sont-ils factorisables ?

   Oui, mais pas toujours sur \( \mathbb{R} \). Certains ne sont factorisables que sur \( \mathbb{C} \).

La règle de Ruffini

La règle de Ruffini est une méthode rapide pour diviser un polynôme par un binôme de la forme \( x - a \). Elle est très utile pour tester si \( a \) est une racine du polynôme.

Étapes de la règle de Ruffini :

1. Écrire les coefficients du polynôme dans l'ordre décroissant.
2. Placer la valeur \( a \) à gauche.
3. Descendre le premier coefficient.
4. Multiplier par \( a \), puis additionner avec le coefficient suivant.
5. Répéter jusqu'au dernier coefficient.
6. Le dernier nombre obtenu est le reste.

Division synthétique

La division synthétique est une méthode équivalente à la règle de Ruffini, présentée sous forme de tableau. Elle permet de diviser rapidement un polynôme par \( x - a \).

Étapes de la division synthétique :

1. Écrire \( a \) dans le coin du tableau.
2. Inscrire les coefficients du polynôme.
3. Descendre le premier coefficient.
4. Multiplier par \( a \) puis additionner.
5. Continuer jusqu'à la fin du tableau.
6. Le dernier terme est le reste.