Forme canonique d’un polynôme du second degré – Exercices de mathématiques en 1ère spécialité

La forme canonique d’un polynôme du second degré est une écriture centrale en première spécialité mathématiques. Elle permet de réécrire un trinôme sous une forme équivalente plus exploitable et constitue une étape essentielle dans l’étude algébrique des polynômes du second degré. La mise sous forme canonique repose sur la complétion du carré et sur une manipulation rigoureuse des expressions.

Sur cette page, tu trouveras une série de fiches d’exercices consacrées à la mise sous forme canonique d’un polynôme de degré 2, avec leurs énoncés et leurs corrigés détaillés au format PDF. Les exercices permettent de s’entraîner à transformer un trinôme par complétion du carré, à traiter des coefficients variés et à vérifier la cohérence des écritures obtenues, afin de renforcer la maîtrise des techniques algébriques.

Fiches d’exercices – Forme canonique (polynôme du second degré, 1ère spécialité)

Résumé de cours : Forme canonique d'un polynôme

La forme canonique d'un polynôme de degré 2 est une représentation alternative de ce polynôme, qui facilite l'identification de ses propriétés, telles que son sommet ou ses racines.

Forme générale vs forme canonique

Un polynôme de degré 2 est généralement écrit sous la forme :

La forme canonique de ce polynôme est :

où \( \alpha = -\frac{b}{2a} \) et \( \beta = c - \frac{b^2}{4a} \).

Passage à la forme canonique

Pour exprimer un polynôme de degré 2 sous sa forme canonique, on utilise les valeurs de \( \alpha \) et \( \beta \) définies ci-dessus.

Exemple :

Soit le polynôme \( f(x) = 2x^2 - 4x + 3 \).

Pour le mettre sous forme canonique :

1. Calculer \( \alpha = -\frac{b}{2a} \).
2. Calculer \( \beta = c - \frac{b^2}{4a} \).
3. Écrire le polynôme sous la forme \( a(x - \alpha)^2 + \beta \).

Utilité de la forme canonique

La forme canonique est particulièrement utile pour :

• Identifier le sommet du paraboloïde représenté par le polynôme.
• Déterminer le sens de l'ouverture de la parabole (vers le haut si \( a > 0 \), vers le bas si \( a < 0 \)).
• Faciliter la résolution de l'équation \( f(x) = 0 \).

Exercices et solutions

1. Mettre le polynôme \( g(x) = x^2 + 6x + 8 \) sous forme canonique.

Solution : \( \alpha = -\frac{6}{2} = -3 \) et \( \beta = 8 - \frac{36}{4} = 8 - 9 = -1 \). Donc, \( g(x) = (x + 3)^2 - 1 \).

2. À partir de la forme canonique, déterminer le sommet de la parabole associée au polynôme \( h(x) = -3x^2 + 12x - 7 \).

Solution : \( \alpha = -\frac{12}{2(-3)} = 2 \) et \( \beta = -7 - \frac{144}{4(-3)} = -7 + 12 = 5 \). Donc, le sommet est le point \( (2 , 5) \).

Conseils et erreurs à éviter

Assurez-vous toujours de bien identifier les coefficients \( a \), \( b \) et \( c \) avant de commencer les calculs. Une erreur sur ces valeurs peut fausser toute la mise en forme canonique.

FAQ

• Qu'est-ce que la forme canonique ?

  C'est une représentation d'un polynôme de degré 2 qui facilite l'identification de ses principales propriétés.

• Comment trouver la forme canonique d'un polynôme ?

  On utilise les formules donnant \( \alpha \) et \( \beta \) à partir des coefficients du polynôme.

• À quoi sert la forme canonique ?

  Elle permet d'identifier le sommet, le sens d'ouverture de la parabole et facilite la résolution de l'équation associée.