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CLASSE DE 2nde

Exercices corrigés : Cercle trigonometrique

exercice corrigé 2nd Fiche d'exercices N1 - correction fiche d'exercices N1.


Fiche d'exercices N2 - correction fiche d'exercices N2.


Fiche d'exercices N3 - correction fiche d'exercices N3.


Fiche d'exercices N4 - correction fiche d'exercices N4.


Fiche d'exercices N5 - correction fiche d'exercices N5.


Fiche d'exercices N6 - correction fiche d'exercices N6.


Fiche d'exercices N7 - correction fiche d'exercices N7.


Fiche d'exercices N8 - correction fiche d'exercices N8.


Fiche d'exercices N9 - correction fiche d'exercices N9.


Fiche d'exercices N10 - correction fiche d'exercices N10.


Résumé de cours : Cercle trigonometrique

1. Introduction

Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un repère orthonormé. Il est essentiel pour définir les fonctions trigonométriques et étudier leurs propriétés.

2. Définition

Le cercle trigonométrique est l'ensemble des points du plan situés à une distance de 1 de l'origine. Il est généralement représenté dans un repère orthonormé avec l'axe des abscisses (axe des x) horizontal et l'axe des ordonnées (axe des y) vertical.

3. Angles et Radians

Sur le cercle trigonométrique, un angle est défini par la rotation d'un rayon autour de l'origine. L'unité naturelle pour mesurer les angles sur le cercle trigonométrique est le radian. Un tour complet correspond à \(2\pi\) radians.

3.1. Conversion entre Radians et Degrés

Il est courant de mesurer les angles en degrés en trigonométrie. Pour convertir entre radians et degrés :

  • \( \text{Angle en degrés} = \text{Angle en radians} \times \frac{180}{\pi} \)
  • \( \text{Angle en radians} = \text{Angle en degrés} \times \frac{\pi}{180} \)

3.2. Mesure Principale d'un Angle

La mesure principale d'un angle est l'angle lui-même réduit à l'intervalle \([- \pi, \pi]\). Elle permet de représenter chaque angle par une valeur unique dans cet intervalle.

4. Fonctions Trigonométriques

Les fonctions trigonométriques sont définies à partir des coordonnées des points sur le cercle trigonométrique :

  • \( \cos(\theta) \) est l'abscisse du point d'intersection du cercle avec le rayon formant un angle \( \theta \) avec l'axe des x.
  • \( \sin(\theta) \) est l'ordonnée de ce point.

5. Propriétés

Quelques propriétés importantes du cercle trigonométrique :

  • \( \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1 \)
  • \( \cos(-\theta) = \cos(\theta) \) et \( \sin(-\theta) = -\sin(\theta) \)
  • \( \cos(\theta + \pi/2) = -\sin(\theta) \) et \( \sin(\theta + \pi/2) = \cos(\theta) \)

5. Exemples Corrigés

Exemple 1 : Convertir \( \frac{\pi}{3} \) radians en degrés.

Correction : \( \frac{\pi}{3} \times \frac{180}{\pi} = 60 \).

Exemple 2 : Trouver la mesure principale de l'angle \( 5\pi \) radians.

Correction : En soustrayant \( 2\pi \) jusqu'à ce que l'angle soit dans l'intervalle \([- \pi, \pi]\), on obtient \( \pi \) comme mesure principale.

Exemple 3 : Trouver le cosinus et le sinus de l'angle \( \frac{\pi}{4} \) radians.

Correction : Sur le cercle trigonométrique, pour \( \theta = \frac{\pi}{4} \) :

  • \( \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
  • \( \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Exemple 4 : Convertir 150 en radians.

Correction : \( 150 \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6} \) radians.

Exemple 5 : Pour quel angle \( \theta \) a-t-on \( \cos(\theta) = 0 \) dans l'intervalle \([0, 2\pi]\) ?

Correction : \( \cos(\theta) = 0 \) pour \( \theta = \frac{\pi}{2} \) et \( \theta = \frac{3\pi}{2} \).

Exemple 6 : Trouver la mesure principale de l'angle \( 7\pi \) radians.

Correction : En soustrayant \( 2\pi \) jusqu'à ce que l'angle soit dans l'intervalle \([- \pi, \pi]\), on obtient \( \pi \) comme mesure principale.

Exemple 7 : Convertir \( \frac{2\pi}{3} \) radians en degrés.

Correction : \( \frac{2\pi}{3} \times \frac{180}{\pi} = 120 \).

6. Conclusion

Le cercle trigonométrique est un outil fondamental en mathématiques pour étudier les fonctions trigonométriques et leurs propriétés. Il offre une visualisation claire des relations entre les angles et les valeurs trigonométriques.