Sens de variation d’une fonction – Exercices de mathématiques en 1ère spécialité

Le sens de variation d’une fonction est une notion centrale en première spécialité mathématiques. Elle permet de décrire le comportement d’une fonction sur un intervalle et d’identifier les zones où elle est croissante ou décroissante à partir de l’étude de sa dérivée. Cette notion constitue un outil fondamental pour l’analyse des fonctions.

Sur cette page, tu trouveras une série de fiches d’exercices consacrées au sens de variation des fonctions, avec leurs énoncés et leurs corrigés détaillés au format PDF. Les exercices permettent de justifier qu’une fonction est définie et dérivable sur un intervalle, de calculer sa dérivée, d’en étudier le signe et d’en déduire rigoureusement le sens de variation à l’aide d’un tableau de variations, tout en soignant la rédaction des conclusions.

Fiches d’exercices – Sens de variation d’une fonction (1ère spécialité mathématiques)

Résumé de cours : Sens de variation d'une fonction

1. Intervalle de définition

Chaque fonction est définie sur un ensemble de nombres appelé intervalle de définition. C'est l'ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction a un sens.

2. Dérivabilité

Une fonction est dite dérivable en un point si on peut calculer sa dérivée en ce point. Si une fonction est dérivable sur un intervalle, cela signifie qu'elle est dérivable en chaque point de cet intervalle.

3. Calcul de la dérivée

La dérivée d'une fonction en un point donne le taux de variation de cette fonction en ce point. Elle correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction en ce point.

Formules classiques de dérivation :

• \( (c)' = 0 \) où \( c \) est une constante.
• \( (x^n)' = nx^{n-1} \) pour tout nombre réel \( n \).
• \( (\sin(x))' = \cos(x) \).
• \( (\cos(x))' = -\sin(x) \).
• \( (e^x)' = e^x \).
• \( (\ln(x))' = \frac{1}{x} \) pour \( x > 0 \).

4. Sens de variation

Le signe de la dérivée d'une fonction sur un intervalle permet de déterminer le sens de variation de cette fonction sur cet intervalle :

• Si la dérivée est positive, la fonction est croissante.
• Si la dérivée est négative, la fonction est décroissante.

5. Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit \( f(x) = x^2 \). Déterminer le sens de variation de \( f \).

Correction : \( f'(x) = 2x \). La dérivée est négative pour \( x < 0 \) et positive pour \( x > 0 \). Donc, \( f \) est décroissante sur \( ]-\infty, 0[ \) et croissante sur \( ]0, +\infty[ \).

Exemple 2 : Soit \( g(x) = x^3 - 3x \). Déterminer le sens de variation de \( g \).

Correction : \( g'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1) \). La dérivée est positive sur \( ]-\infty, -1[ \) et \( ]1, +\infty[ \), et négative sur \( ]-1, 1[ \). Donc, \( g \) est croissante sur \( ]-\infty, -1[ \) et \( ]1, +\infty[ \), et décroissante sur \( ]-1, 1[ \).

Exemple 3 : Soit \( h(x) = e^x \). Déterminer le sens de variation de \( h \).

Correction : \( h'(x) = e^x \), qui est toujours positive. Donc, \( h \) est croissante sur \( \mathbb{R} \).

Exemple 4 : Soit \( j(x) = \ln(x) \) pour \( x > 0 \). Déterminer le sens de variation de \( j \).

Correction : \( j'(x) = \frac{1}{x} \), qui est positive pour \( x > 0 \). Donc, \( j \) est croissante sur \( ]0, +\infty[ \).

Exemple 5 : Soit \( k(x) = \sin(x) \). Déterminer le sens de variation de \( k \) sur \( [0, \pi] \).

Correction : \( k'(x) = \cos(x) \). Sur \( [0, \pi] \), \( \cos(x) \) est positive sur \( [0, \frac{\pi}{2}[ \), nulle en \( \frac{\pi}{2} \), puis négative sur \( ]\frac{\pi}{2}, \pi] \). Donc, \( k \) est croissante sur \( [0, \frac{\pi}{2}] \) et décroissante sur \( [\frac{\pi}{2}, \pi] \).

6. Conseils et erreurs à éviter

• Toujours vérifier l'intervalle de définition avant de dériver.
• Ne pas confondre le signe de la dérivée et le sens de variation de la fonction.
• Faire attention aux points où la fonction n'est pas dérivable.

7. FAQ

1. Qu'est-ce que la dérivée d'une fonction ?

   La dérivée d'une fonction en un point donne le taux de variation de cette fonction en ce point.

2. Comment déterminer le sens de variation d'une fonction à partir de sa dérivée ?

   Si la dérivée est positive sur un intervalle, la fonction est croissante sur cet intervalle. Si elle est négative, la fonction est décroissante.

3. Quelle est la relation entre la dérivée et la tangente à la courbe d'une fonction ?

   La dérivée d'une fonction en un point donne le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point.

8. Conclusion

La dérivée est un outil fondamental pour étudier le comportement des fonctions. Elle permet de déterminer leur sens de variation et de mieux comprendre leur représentation graphique.