Exercices corrigés : Sens de variation d'une fonction

Fiche d'exercices N°1 - correction fiche d'exercices N°1. Fiche d'exercices N°2 - correction fiche d'exercices N°2. Fiche d'exercices N°3 - correction fiche d'exercices N°3. Fiche d'exercices N°4 - correction fiche d'exercices N°4. Fiche d'exercices N°5 - correction fiche d'exercices N°5. Fiche d'exercices N°6 - correction fiche d'exercices N°6. Fiche d'exercices N°7 - correction fiche d'exercices N°7. Fiche d'exercices N°8 - correction fiche d'exercices N°8. Fiche d'exercices N°9 - correction fiche d'exercices N°9. Fiche d'exercices N°10 - correction fiche d'exercices N°10.

Résumé de cours : Sens de variation d'une fonction

1. Intervalle de définition

Chaque fonction est définie sur un ensemble de nombres appelé intervalle de définition. C'est l'ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction a un sens.

2. Dérivabilité

Une fonction est dite dérivable en un point si on peut calculer sa dérivée en ce point. Si une fonction est dérivable sur un intervalle, cela signifie qu'elle est dérivable en chaque point de cet intervalle.

3. Calcul de la dérivée

La dérivée d'une fonction en un point donne le taux de variation de cette fonction en ce point. Elle est liée au coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction en ce point.

Formules classiques de dérivation :

• \( (c)' = 0 \) où \( c \) est une constante.
• \( (x^n)' = nx^{n-1} \) pour tout nombre réel \( n \).
• \( (\sin(x))' = \cos(x) \).
• \( (\cos(x))' = -\sin(x) \).
• \( (e^x)' = e^x \).
• \( (\ln(x))' = \frac{1}{x} \) pour \( x > 0 \).

4. Sens de variation

Le signe de la dérivée d'une fonction sur un intervalle donne le sens de variation de cette fonction sur cet intervalle :

• Si la dérivée est positive, la fonction est croissante.
• Si la dérivée est négative, la fonction est décroissante.

5. Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit \( f(x) = x^2 \). Déterminer le sens de variation de \( f \).

Correction : \( f'(x) = 2x \). La dérivée change de signe en \( x = 0 \). Donc, \( f \) est décroissante sur \( ]-\infty, 0[ \) et croissante sur \( ]0, +\infty[ \).

Exemple 2 : Soit \( g(x) = x^3 - 3x \). Déterminer le sens de variation de \( g \).

Correction : \( g'(x) = 3x^2 - 3 \). La fonction \( g \) est croissante sur \( ]-\infty, 1[ \) et \( ]1, +\infty[ \) et décroissante sur \( ]-1, 1[ \).

Exemple 3 : Soit \( h(x) = e^x \). Déterminer le sens de variation de \( h \).

Correction : \( h'(x) = e^x \) qui est toujours positive. Donc, \( h \) est croissante sur \( \mathbb{R} \).

Exemple 4 : Soit \( j(x) = \ln(x) \) pour \( x > 0 \). Déterminer le sens de variation de \( j \).

Correction : \( j'(x) = \frac{1}{x} \) qui est positive pour \( x > 0 \). Donc, \( j \) est croissante sur \( ]0, +\infty[ \).

Exemple 5 : Soit \( k(x) = \sin(x) \). Déterminer le sens de variation de \( k \) sur \( [0, \pi] \).

Correction : \( k'(x) = \cos(x) \). Sur \( [0, \pi] \), \( \cos(x) \) est positif puis négatif. Donc, \( k \) est croissante sur \( [0, \frac{\pi}{2}] \) et décroissante sur \( [\frac{\pi}{2}, \pi] \).

6. Conseils et erreurs à éviter

• Toujours vérifier l'intervalle de définition avant de dériver.
• Ne pas confondre le signe de la dérivée et le sens de variation de la fonction.
• Attention aux fonctions non dérivables en certains points.

7. FAQ

1. Qu'est-ce que la dérivée d'une fonction ?

   La dérivée d'une fonction en un point donne le taux de variation de cette fonction en ce point.

2. Comment déterminer le sens de variation d'une fonction à partir de sa dérivée ?

   Si la dérivée est positive sur un intervalle, la fonction est croissante sur cet intervalle. Si elle est négative, la fonction est décroissante.

3. Quelle est la relation entre la dérivée et la tangente à la courbe d'une fonction ?

   La dérivée d'une fonction en un point donne le coefficient directeur de la tangente à la courbe de cette fonction en ce point.

8. Conclusion

La dérivée est un outil puissant pour étudier le comportement des fonctions. Elle permet de déterminer le sens de variation des fonctions et d'obtenir des informations précieuses sur leur forme graphique.