Signe d’un polynôme – Exercices de mathématiques en 1ère spécialité

L’étude du signe d’un polynôme est une notion fondamentale en première spécialité mathématiques. Elle permet de déterminer sur quels intervalles un polynôme est positif, négatif ou nul, à partir du calcul du discriminant et de l’analyse de ses racines. Cette compétence constitue une étape essentielle dans la maîtrise des polynômes du second degré.

Sur cette page, tu trouveras une série de fiches d’exercices consacrées à l’étude du signe d’un polynôme, accompagnées de leurs énoncés et corrigés détaillés au format PDF. Les exercices permettent de déterminer les racines d’un polynôme, de dresser des tableaux de signes sur un intervalle ou sur ℝ, et de rédiger des conclusions claires et rigoureuses.

Fiches d’exercices – Signe d’un polynôme (1ère spécialité mathématiques)

Résumé de cours : Signe d'un polynôme

La détermination du signe d'un polynôme de degré 2 est une compétence essentielle en mathématiques. Elle permet de savoir pour quelles valeurs de \( x \) le polynôme est positif, négatif ou nul.

Forme générale d'un polynôme de degré 2

Un polynôme de degré 2 est généralement écrit sous la forme :

\( f(x) = ax^2 + bx + c \)

où \( a \), \( b \) et \( c \) sont des constantes et \( a \neq 0 \).

Utilisation du discriminant

Le discriminant, noté \( \Delta \), joue un rôle crucial dans la détermination du signe du polynôme. Il est donné par :

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

Interprétation du discriminant pour le signe

• Si \( \Delta > 0 \) : le signe de \( f(x) \) change aux racines du polynôme.
• Si \( \Delta = 0 \) : \( f(x) \) garde le même signe sur \( \mathbb{R} \), sauf à la racine double où il s'annule.
• Si \( \Delta < 0 \) : \( f(x) \) garde le même signe sur tout son intervalle de définition.

Exemples détaillés

Exemple 1 :

Soit le polynôme \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \). Déterminons son signe.

Solution :

Le discriminant vaut \( \Delta = 1 \). Les racines sont \( x_1 = 1 \) et \( x_2 = 2 \).

Exemple 2 :

Soit le polynôme \( g(x) = x^2 + 2x + 1 \). Déterminons son signe.

Solution :

Le discriminant vaut \( \Delta = 0 \). La racine double est \( x_0 = -1 \).

Conseils et erreurs à éviter

Assurez-vous toujours de bien identifier les coefficients \( a \), \( b \) et \( c \) avant de commencer les calculs. Une erreur à ce stade peut fausser la détermination des racines et du signe du polynôme.

FAQ

• Qu'est-ce qu'un tableau de signes ?

  C'est un outil qui permet de visualiser le signe d'un polynôme selon les valeurs de \( x \).

• Comment déterminer le signe d'un polynôme ?

  On utilise le discriminant, les racines éventuelles et un tableau de signes.

• Que signifie un discriminant négatif pour le signe ?

  Cela signifie que le polynôme ne s'annule pas et garde le même signe sur tout \( \mathbb{R} \).