Fonctions en classe de seconde – Extrema d’une courbe : fiches d’exercices et corrigés

Cette page regroupe une série de fiches d’exercices dédiées à l’étude des extrema d’une courbe en classe de Seconde. Savoir identifier un maximum ou un minimum à partir d’une représentation graphique est une compétence essentielle dans l’étude des fonctions et constitue une base importante pour l’analyse du comportement d’une fonction sur un intervalle.

Les exercices proposés permettent d’apprendre à repérer graphiquement les extrema, à lire leurs coordonnées, à déterminer des valeurs maximales ou minimales sur des intervalles donnés et à interpréter les informations fournies par la courbe. Chaque fiche est accompagnée de son corrigé afin de faciliter l’entraînement autonome et la compréhension des méthodes attendues.

Après la présentation des fiches, un résumé de cours clair et structuré est proposé pour revoir les définitions fondamentales, les propriétés essentielles et les méthodes à maîtriser pour réussir les exercices sur les extrema d’une courbe.

Extrema d’une courbe – Fiches d’exercices (Seconde)

Résumé de cours : Extrema de courbe

1. Notions de base

Avant d’aborder la notion d’extrema, il est nécessaire de maîtriser quelques définitions fondamentales.

• Intervalle de définition : c’est l’ensemble des valeurs de \( x \) pour lesquelles la fonction \( f \) est définie. Par exemple, pour la fonction \( f(x) = \sqrt{x} \), l’intervalle de définition est \( x \geq 0 \).
• Borne supérieure : c’est la plus petite valeur qui est supérieure ou égale à toutes les valeurs d’un ensemble. Si cette valeur appartient à l’ensemble, on parle alors de maximum.
• Borne inférieure : c’est la plus grande valeur qui est inférieure ou égale à toutes les valeurs d’un ensemble. Si cette valeur appartient à l’ensemble, on parle alors de minimum.

2. Qu’est-ce qu’un extremum ?

Un extremum est un point où une fonction atteint une valeur maximale ou minimale. On distingue deux types d’extrema.

• Maximum : point où la fonction atteint sa valeur la plus élevée. Par exemple, pour la fonction \( f(x) = -x^2 \), le maximum est atteint en \( x = 0 \).
• Minimum : point où la fonction atteint sa valeur la plus basse. Pour la fonction \( f(x) = x^2 \), le minimum est atteint en \( x = 0 \).

3. Comment déterminer les extrema graphiquement ?

Sur la courbe représentative d’une fonction :

• un maximum correspond à un point où la courbe passe d’une pente ascendante à une pente descendante ;
• un minimum correspond à un point où la courbe passe d’une pente descendante à une pente ascendante.

Exemple : pour la fonction \( f(x) = x^3 - 3x \), l’observation de la courbe permet d’identifier un maximum local et un minimum local.

4. Borne supérieure et borne inférieure

La borne supérieure d’un ensemble n’est pas forcément un élément de cet ensemble, mais elle est supérieure ou égale à toutes ses valeurs. De même, la borne inférieure est inférieure ou égale à toutes les valeurs de l’ensemble.

5. Comment déterminer les extrema d’une fonction ?

Les extrema peuvent être déterminés à l’aide de la dérivée. Si la dérivée change de signe en un point, alors ce point correspond à un extremum. Il est donc essentiel d’étudier le signe de la dérivée de part et d’autre de ce point.

6. Conseils et erreurs à éviter

• ne pas confondre les points d’inflexion avec les extrema ;
• un point où la dérivée est nulle n’est pas nécessairement un extremum ;
• bien étudier l’intervalle de définition de la fonction ;
• ne pas oublier que les bornes de l’intervalle peuvent également être des extrema.

7. FAQ sur les extrema d’une fonction

1. Qu’est-ce qu’un extremum ?

   C’est un point où une fonction atteint une valeur maximale ou minimale.

2. Comment différencier un maximum d’un minimum sur un graphique ?

   Un maximum correspond à un changement de sens de la courbe, d’une montée vers une descente. Un minimum correspond au changement inverse.

3. Tous les points où la dérivée est nulle sont-ils des extrema ?

   Non. Certains points où la dérivée est nulle peuvent être des points d’inflexion. Il faut toujours étudier le signe de la dérivée autour du point.

4. Quelle est la différence entre borne supérieure et maximum ?

   La borne supérieure est la plus petite valeur majorant l’ensemble. Si elle appartient à l’ensemble, elle est alors le maximum.

5. Comment utiliser la dérivée pour trouver les extrema ?

   Un extremum correspond à un point où la dérivée change de signe, généralement après avoir été nulle en ce point.

6. Quelles sont les erreurs fréquentes lors de la recherche d’extrema ?

   Confondre points d’inflexion et extrema, oublier les bornes de l’intervalle ou négliger les points où la dérivée n’existe pas.