Dérivée d’une fonction – Exercices de mathématiques en 1ère spécialité

La dérivée d’une fonction est une notion clé en première spécialité mathématiques. Elle permet de mesurer les variations d’une fonction, de déterminer son sens de variation et de résoudre de nombreux problèmes d’optimisation. Maîtriser la dérivation est indispensable pour comprendre l’étude de fonctions et progresser vers les chapitres plus avancés.

Sur cette page, tu trouveras une série de fiches d’exercices consacrées à la dérivée d’une fonction, avec leurs énoncés et leurs corrigés détaillés au format PDF. Les fiches sont conçues pour s’entraîner progressivement, consolider les méthodes de calcul et préparer efficacement les contrôles tout au long de l’année.

Fiches d’exercices – Dérivée d’une fonction (1ère spécialité mathématiques)

Résumé de cours : derivée d'une fonction

1. Définition

Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I \). On dit que \( f \) est dérivable en \( a \) appartenant à \( I \) si la limite suivante existe :

Si \( f \) est dérivable en tout point de \( I \), alors on peut définir la fonction dérivée \( f' \) sur \( I \).

2. Interprétation géométrique : la tangente

La dérivée d'une fonction en un point donne le coefficient directeur de la tangente à la courbe de cette fonction en ce point.

Plus précisément, si \( f \) est dérivable en \( a \), alors la tangente à la courbe de \( f \) en \( (a, f(a)) \) a pour équation :

3. Valeur de la tangente

La valeur de la tangente en un point est simplement le coefficient directeur de cette tangente, c'est-à-dire la dérivée de la fonction en ce point.

4. Détermination graphique de la dérivée

Graphiquement, pour déterminer la valeur de la dérivée en un point :

1. Tracez la tangente à la courbe de la fonction en ce point.
2. Déterminez le coefficient directeur de cette tangente.
3. Ce coefficient est la valeur de la dérivée en ce point.

5. Tracé de la courbe à l'aide des tangentes

Connaissant les valeurs de la dérivée en plusieurs points, on peut tracer les tangentes correspondantes. Ces tangentes donnent une idée de la "direction" de la courbe en ces points, permettant ainsi de dessiner une esquisse de la courbe.

6. Exercices

Exercice 1 : Soit \( f(x) = x^2 \). Trouvez la dérivée de \( f \) et tracez la tangente à la courbe de \( f \) au point \( x = 1 \).

Correction : La dérivée de \( f \) est \( f'(x) = 2x \). Ainsi, la tangente à la courbe de \( f \) en \( x = 1 \) a pour équation \( y = 2(x-1) + 1 = 2x \).

7. Conclusion

La dérivée d'une fonction est un outil puissant pour étudier le comportement de cette fonction. Elle donne des informations sur la variation de la fonction et permet de tracer des tangentes à sa courbe, offrant ainsi une représentation graphique de la vitesse de variation de la fonction.