Nombre dérivé et tangente – Exercices de mathématiques en 1ère spécialité

Le nombre dérivé d’une fonction en un point correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point. En classe de première spécialité mathématiques, cette notion constitue une première approche de la dérivation et permet de relier une interprétation graphique à un concept fondamental de l’analyse.

Sur cette page, tu trouveras une série de fiches d’exercices consacrées à la lecture et à l’interprétation graphique du nombre dérivé, avec leurs énoncés et leurs corrigés détaillés au format PDF. Les exercices permettent de déterminer graphiquement des nombres dérivés, de tracer des tangentes à une courbe et de proposer une allure cohérente de la fonction à partir des informations fournies.

Fiches d’exercices – Dérivée d’une fonction (1ère spécialité mathématiques)

Résumé de cours : dérivée d'une fonction

1. Définition

Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I \). On dit que \( f \) est dérivable en un nombre \( a \) appartenant à \( I \) si la limite suivante existe :

\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]

Si \( f \) est dérivable en tout point de \( I \), alors on peut définir la fonction dérivée \( f' \) sur \( I \).

2. Interprétation géométrique : la tangente

La dérivée d'une fonction en un point donne le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de cette fonction en ce point.

Plus précisément, si \( f \) est dérivable en \( a \), alors la tangente à la courbe de \( f \) au point \( (a, f(a)) \) a pour équation :

\[ y = f'(a)(x - a) + f(a) \]

3. Valeur de la tangente

La valeur de la tangente en un point correspond au coefficient directeur de cette tangente, c’est-à-dire à la valeur de la dérivée de la fonction en ce point.

4. Détermination graphique de la dérivée

Graphiquement, pour déterminer la valeur de la dérivée en un point :

1. Tracer la tangente à la courbe de la fonction en ce point.
2. Déterminer le coefficient directeur de cette tangente.
3. Ce coefficient est la valeur de la dérivée en ce point.

5. Tracé de la courbe à l'aide des tangentes

En connaissant les valeurs de la dérivée en plusieurs points, on peut tracer les tangentes correspondantes. Ces tangentes donnent une indication sur la direction de la courbe en ces points, ce qui permet d’esquisser la courbe représentative de la fonction.

6. Exercices

Exercice 1 : Soit \( f(x) = x^2 \). Déterminer la dérivée de \( f \) et tracer la tangente à la courbe de \( f \) au point d’abscisse \( x = 1 \).

Correction :

La dérivée de \( f \) est \( f'(x) = 2x \). Ainsi, la tangente à la courbe de \( f \) en \( x = 1 \) a pour équation :

\[ y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1 \]

7. Conclusion

La dérivée d'une fonction est un outil fondamental pour étudier le comportement des fonctions. Elle permet d’analyser les variations d’une fonction et de tracer des tangentes à sa courbe, offrant ainsi une interprétation géométrique de la vitesse de variation de la fonction.